Садыкова Динар Абдыкадыровна. Асимптотика решения сингулярно возмущенных параболических задач с быстроосциллирующими данными

Этот текст доступен на русском языке For the sake of viewer convenience, the content is shown below in the alternative language. You may click the link to switch the active language.

Рубрики: Физико-математические науки – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Описание:

Широкое распространение математического моделирования в естественных и технических науках стимулировало разработку многочисленных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда условия названной теоремы нарушаются, эффективность этих методов заметно снижается, а в некоторых ситуациях становится практически равной нулю.
Подобная ситуация возникает, например, в случае, когда исследуемый процесс описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Такие уравнения получили название сингулярно возмущенных уравнений. Для процессов, описываемых сингу-лярно возмущенными уравнениями, характерны неравномерные переходы. Это ощущается в зоне пограничного слоя, возникающего при значениях независимой переменной, находящейся в окрестности граничных точек.
В данной диссертационной работе, изучаются краевые задачи для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа, когда данные задачи (свободный член и начальная функция) являются быстроосциллирующими функциями. Присутствие таких членов в уравнении приводит к появлению в решении дополнительных функций пограничного слоя.
Задачи, рассмотренные в диссертационной работе представляют теоретический и практический интерес. Ранее задачи, с быстроосцил-лирующими данными для уравнений с частными производными не изучались. Такие задачи изучались для обыкновенных дифференциальных уравнений в работах школы Шкиль. С практической стороны, методы данной работы могут быть применены в задачах, возникающих в квантовой механике, в теории теплопроводности и диффузий, а также в кинетической теории.

Цель работы. В работе решаются следующие задачи:
1. Разработать метод построения регуляризованной асимптотики решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными параболического типа с малым параметром при производной с быстроосциллирующей правой частью, в случае когда фаза правой части совпадает с корнем характеристического уравнения.
2. Разработать метод построения регуляризованной асимптотики решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными параболического типа с малым параметром при производной с быстроосциллирующей правой частью, в случае, когда фаза правой части совпадает с одним из собственных значений предельного оператора.
3. Разработать метод асимптотического интегрирования первой крае-вой задачи для дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром с аддитивной правой частью и описать структуру погранслойной функции.
4. Обобщить метод регуляризации на краевую задачу для дифферен-циального уравнения параболического типа с малым параметром в случае, когда фаза правой части не совпадает с корнем характеристического уравнения.
5. Обобщить полученные результаты для скалярных задач на много-мерные задачи.
6. Разработать метод асимптотического решения дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром без начального условия, в случае, когда отрезок, а котором изучается задача, является полубесконечным или конечным.
Научная новизна. Впервые идея регуляризации применяется для выделения особенностей в решении сингулярно возмущенных диффе-ренциальных уравнений в частных производных параболического типа, когда правая часть является быстроосциллирующей функцией. Изучаются резо-нансные и нерезонансные задачи, а также задачи без начальных условий.
Предлагаемая методика обобщается на многомерные аналоги перечис-
ленных задач.
Методика исследования. При построении регуляризованной асимп-тотики используется предложенная А.С.Омуралиевым модификация раз-работанного С.А.Ломовым метода регуляризации для сингулярно возму-щенных задач. Для обоснования асимптотической сходимости формальных решений применяется аппарат «принципа максимума».

Бөлүшүү

Комментарий калтыруу

Сиздин email көрсөтүлбөйт. Милдеттүү талаа *