Садыкова Динар Абдыкадыровна. Асимптотика решения сингулярно возмущенных параболических задач с быстроосциллирующими данными doc

Рубрики: Физико-математические науки – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Описание:

Широкое распространение математического моделирования в естественных и технических науках стимулировало разработку многочисленных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда условия названной теоремы нарушаются, эффективность этих методов заметно снижается, а в некоторых ситуациях становится практически равной нулю.
Подобная ситуация возникает, например, в случае, когда исследуемый процесс описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Такие уравнения получили название сингулярно возмущенных уравнений. Для процессов, описываемых сингу-лярно возмущенными уравнениями, характерны неравномерные переходы. Это ощущается в зоне пограничного слоя, возникающего при значениях независимой переменной, находящейся в окрестности граничных точек.
В данной диссертационной работе, изучаются краевые задачи для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа, когда данные задачи (свободный член и начальная функция) являются быстроосциллирующими функциями. Присутствие таких членов в уравнении приводит к появлению в решении дополнительных функций пограничного слоя.
Задачи, рассмотренные в диссертационной работе представляют теоретический и практический интерес. Ранее задачи, с быстроосцил-лирующими данными для уравнений с частными производными не изучались. Такие задачи изучались для обыкновенных дифференциальных уравнений в работах школы Шкиль. С практической стороны, методы данной работы могут быть применены в задачах, возникающих в квантовой механике, в теории теплопроводности и диффузий, а также в кинетической теории.

Цель работы. В работе решаются следующие задачи:
1. Разработать метод построения регуляризованной асимптотики решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными параболического типа с малым параметром при производной с быстроосциллирующей правой частью, в случае когда фаза правой части совпадает с корнем характеристического уравнения.
2. Разработать метод построения регуляризованной асимптотики решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными параболического типа с малым параметром при производной с быстроосциллирующей правой частью, в случае, когда фаза правой части совпадает с одним из собственных значений предельного оператора.
3. Разработать метод асимптотического интегрирования первой крае-вой задачи для дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром с аддитивной правой частью и описать структуру погранслойной функции.
4. Обобщить метод регуляризации на краевую задачу для дифферен-циального уравнения параболического типа с малым параметром в случае, когда фаза правой части не совпадает с корнем характеристического уравнения.
5. Обобщить полученные результаты для скалярных задач на много-мерные задачи.
6. Разработать метод асимптотического решения дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром без начального условия, в случае, когда отрезок, а котором изучается задача, является полубесконечным или конечным.
Научная новизна. Впервые идея регуляризации применяется для выделения особенностей в решении сингулярно возмущенных диффе-ренциальных уравнений в частных производных параболического типа, когда правая часть является быстроосциллирующей функцией. Изучаются резо-нансные и нерезонансные задачи, а также задачи без начальных условий.
Предлагаемая методика обобщается на многомерные аналоги перечис-
ленных задач.
Методика исследования. При построении регуляризованной асимп-тотики используется предложенная А.С.Омуралиевым модификация раз-работанного С.А.Ломовым метода регуляризации для сингулярно возму-щенных задач. Для обоснования асимптотической сходимости формальных решений применяется аппарат «принципа максимума».

Поделиться

Написать комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *